Real numbrid ja nende omadused

Pythagoras väitis, et number on maailma rajamist par põhielemendid. Platon uskus, et linkide arv nähtus ja noumenon, aidates teada, et kaalutakse ja teha järeldusi. Aritmeetika pärineb sõna "arifmos" - arv, alguspunkt matemaatika. On võimalik, et kirjeldada mis tahes objekti - algtasemest õuna abstraktne ruumid.

Vajab kui arengu tegur

Esialgses arengujärgus ühiskonnas inimeste vajadusi piiratud vajadusega hoida punktisumma - .. Üks kott vilja, kaks tera kott jne Selleks, see oli loomulik numbrid, komplekti, mis on lõpmatu jada positiivsed täisarvud N.

Hiljem arengu matemaatika kui teaduse, see oli vajalik konkreetses valdkonnas täisarvud Z - see sisaldab negatiivsete väärtuste ja null. Tema välimus riigisisesel tasandil, see on olnud ajendatud asjaolust, et esialgne arvestus oli kuidagi lahendada võlad ja kahjumid. Teaduslikul tasemel, negatiivsed arvud on teinud võimalikuks lahendada lihtsaid lineaarvõrrandeid. Muuhulgas on nüüd võimalik pilti triviaalne koordinaatide süsteemi, st. A. Oli lähtepunkti.

Järgmine samm oli vaja sisestada murdarvude, kuna teadus ei seisa paigal, rohkem ja rohkem uusi avastusi nõudis teoreetilise aluse uue push kasvu. Nii oli valdkonnas ratsionaalarvude Q.

Lõpuks enam rahuldada otstarbekuse sest kõik uued avastused nõuavad selgitust. Oli valdkonnas tegelik arv R, tööde Euclid mittevõrreldavus teatavate koguste tõttu irratsionaalsus. See tähendab, et Vana-Kreeka matemaatik paigutatud mitte ainult number pidevalt, kuid abstraktne väärtus, mis iseloomustab suhe incommensurable suurusjärke. Tulenevalt asjaolust, et on olemas reaalne numbrid, "nägime valgus" väärtused nagu "pi" ja "e", milleta kaasaegne matemaatika ei oleks toimunud.

Lõplik uuenduseks oli keeruline number C. See vastas rea küsimusi ja kummutatud eelnevalt sisestatud postuleerib. Tänu kiirele arengule algebra tulemus oli ettearvatav - tegelik arv, otsustab palju probleeme ei olnud võimalik. Näiteks tänu keerulised numbrid silma paistnud stringiteooria ja kaos laiendatud võrrandid hüdrodünaamika.

Hulgateooria. Cantor

Mõiste lõpmatus on alati tekitanud poleemikat, sest see oli võimatu tõestada või ümber lükata. Seoses matemaatika, mis töötab rangelt kontrollitud postuleerib, see väljendub kõige ilmsemalt, seda enam, et teoloogiline aspekt veel kaalutakse teadust.

Kuid töö kaudu matemaatik Georg Cantor kogu aeg langes paika. Ta tõestas, et Lõpmatu hulk on lõpmatu hulk, ning et valdkonnas R on suurem kui valdkonnas N, lase mõlemad ja ei ole lõpuni. Keset XIX sajandi oma ideid avalikult kutsunud jama ja kuritegevuse vastu klassikalise muutumatu kaanonid, kuid aeg paneb kõik oma kohale.

Basic omadused valdkonnas R

Tegelik arv ei ole mitte ainult samad omadused kui podmozhestva et nad on, kuid täiendavalt muid masshabnosti tänu tema elemente:

• Zero R. olemas ja kuulub valdkonnas c + = c 0 iga c R.
• Null olemas ja kuulub valdkonna R. c x 0 = 0 mistahes c R.
• Suhe c: d kui d ≠ 0 olemas ja kehtib iga c, d R.
• Väli R tellitud, st kui c ≤ d, d ≤ c, siis c = d tahes c, d R.
• Lisaks väljal R on kommutatiivse, st c + d = d + c, iga c, d R.
• Korrutamist valdkonnas R on kommutatiivse, st xc x d = d c iga c, d R.
• Lisaks väljal R on assotsiatiivne st (c + d) + f = c + (d + f) kõigi c, d, f R.
• Korrutamist valdkonnas R on assotsiatiivne st (c x d) x f = c x (d x f) kõigi c, d, f R.
• Iga arvu valdkonnas R vastassuunaline seal, nii et c + (-c) = 0, kus c, -c R.
• Iga arvu valdkonnas R olemas oma pöördvõrdeline, nii et c xc ^-1 = 1, kus c, c ^-1 R.
• Üksus olemas ja kuulub R, nii et c x 1 = c mingil c R.
• Tal on õigus seaduse jaotus, nii et c x (d + f) = c x d + c x f mingil c, d, f R.
• R valdkonnas on null ei ole võrdne ühega.
• Väli R on transitiivne: kui c ≤ d, d ≤ f, siis c ≤ f iga c, d, f R.
• R ja lisamise järjekord on omavahel: kui c ≤ d, seejärel c + f ≤ d + f kõikide c, d, f R.
• Järjekorras R ja paljunemise seotud: kui 0 ≤ c, 0 ≤ d, seejärel 0 ≤ c x d tahes c, d R.
• Nagu negatiivseid ja positiivseid tegelik arv on pidevad, st iga c, d Rf eksisteerib rühmadest, et c ≤ f ≤ d.

Moodul valdkonnas R

Tegelik arv sisaldada sellist asja nagu moodul. Määratud seda kui | F | iga f R. | F | = F, kui 0 ≤ f ja | f | = -f, kui 0> f. Kui vaatleme moodul geomeetrilise väärtus, see on kaugus - see ei ole oluline, "sooritanud" teile nulli negatiivsest positiivseks või edasi.

Complex ja reaalarvud. Millised on sarnasused ja erinevused?

Üldiselt keeruline ja tõeline numbrid - need on üks ja sama, välja arvatud, et esimene liitus imaginaarühikut i, ruudu, mis on võrdne -1. Elemendid põllud R ja C võib esitada järgmise valemiga:

• c = d + f x i, milles d, f kuuluda valdkonnas R ja i - imaginaarühikut.

Et saada c R f sel juhul lihtsalt loetakse nulliks, st on ainult tõeline osa number. Kuna valdkonnas keerulised numbrid on sama funktsioon määrata valdkonnas reaalne, f x i = 0, kui f = 0.

Seoses praktilisi erinevusi, näiteks valdkonnas R ruutvõrrand ei saa lahendada, kui discriminant on negatiivne, samas kui C box ei kehtesta seda piirangut kehtestades imaginaarühikut i.

tulemused

"Tellised" aksioomide ja postuleerib, millele aluse matemaatika, ei muutu. On mõned neist suurenemise tõttu teabe ja uute teooriate paigutatud järgmised "tellised", mis tulevikus võib saada aluseks järgmine samm. Näiteks looduslik numbrid, hoolimata asjaolust, et nad on alagrupis tõeline valdkonnas R, ei kaota oma tähtsust. On neile alusel kõik elementaarne aritmeetika, mis algab teadmisi meest rahu.

Praktilisest seisukohast, tegelikku arvu nägema sirge. On võimalik valida suund, päritolu tuvastamiseks ja pigi. Otsene koosneb lõpmatu arv punkte, millest igaüks vastab ühele tegelik arv, olenemata sellest, kas või mitte ratsionaalne. Kirjeldusest on selge, et me räägime mõiste, mis põhineb matemaatika üldiselt ja matemaatilise analüüsi eelkõige.