Tuletis siinus nurk on võrdne koosinuse sama nurga

Dana lihtne trigonomeetria funktsiooni y = Sin (x), on diferentseeruvad igas punktis kogu domeeni. Peame tõestama, et tuletis sine tahes argument on võrdne koosinus sama nurga all, see tähendab, "= Cos (x).

Tõend põhineb mõiste tuletisfunktsioonile

Me määratleme x (meelevaldne) mõningad naabruses konkreetse punkti x AH _0. Näitame funktsiooni väärtus, ja kohas x leida juurdekasvu antud funktsiooni. Kui SH - argument astmeliselt, uus argument - see x ₀ + Δx = x väärtus seda funktsiooni antud väärtuse argumendi (x) on võrdne Sin (x ₀ + Δx), funktsiooni väärtus konkreetses kohas (x ₀₎ on samuti tuntud .

Nüüd oleme Δu = Sin (x ₀ + SH) -sin (x ₀₎ - saadakse juurdekasvu funktsiooni.

Vastavalt valemile sine summa kahe ebavõrdse nurgad me teisendada erinevus Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (AH) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) miinus Sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (AH).

Esinevad permutatsioon terminid grupeeritud esimene kuni kolmas Sin (x _0), välja võetud ühine tegur - sine - sulgudes. Saime väljendis Cos vahe (AH) -1. See jättis muuta märk ees sulgudes ja sulgudes. Teades, mida on 1-Cos (AH), teeme muutus ja saada lihtsustatud väljend Δu, mis jagatakse seejärel AH.
Δu / AH on kujul: Cos (x ₀₎ · Sin (AH) / AH 2 · Sin ² (0,5 x SH) · Sin (x ₀₎ / AH. See on suhe juurdekasvu funktsiooni lubamise juurdekasvu argument.

Jääb leida piiri saadud suhetest meie ajal lim oh, kipub null.

On teada, et piir Sin (AH) / Δx on võrdne 1, tingimusel. Ja väljend 2 · Sin ² (0,5 x SH) / AH saadavas summa eriti muundumised toote, mis sisaldab esimese kordisti tähelepanuväärne piir: lugejale murdosa ja znemenatel jagage 2 ruuduga sine asendada toodet. Siin on, kuidas:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Piir see väljend kui AH kipub null, võrdub arvu null (0 korrutatud 1). Selgub, et piiri suhe Δy / AH on Cos (x ₀₎ · 1-0, seda Cos (x _0), mille avaldumine ei sõltu õh kalduvad 0. Järeldus: tuletis siinus tahes nurk on võrdne x koosinus x, võib kirjutada: y '= Cos (x).

Saadud valemi tabelis loetletud tuntud derivaadid, kus kõik elementaarfunktsioone

Probleemide lahendamisel, kus ta kohtub tuletis sine, saate reeglite diferentseerumise ja valmis valemid tabeli. Näiteks: leida tuletis lihtsamad funktsioonid y = 3 · Sin (x) -15. Me kasutame elementaarne tuletamise reeglid eemaldamine numbriline tegur märk tuletis ja arvutada derivaat konstant (mis on null). Täida sine tabeli väärtus tuletis nurk x võrdse Cos (x). Sellise vastuse: y '= 3 · Cos (x) -O. See derivaat, mis omakorda on ka Elementaarfunktsioon y = H · Cos (x).

Tuletis siinus ruudus ühtegi argumenti

Arvutamisel väljendit (Sin ² (x)) tuleb meeles pidada, kuidas diferentseeritud keerukat funktsiooni. Niisiis, ² = Sin (x) - on võimsus funktsioneerivad siinus ruudus. Selle argumendi on ka trigonomeetriliste funktsiooni, keeruline argument. Tulemuseks on sel juhul võrdne toote esimese kordisti on ruut kompleksi tuletis argumendi ja teine - tuletis sine. Siin on reegel eristamisel funktsioon funktsioon: (u (v (x))) on (u (v (x))) · (v (x)). Väljendamine v (x) - kompleks argument (sisemine funktsioon). Kui antud funktsiooni "y võrdub siinus ruudus x", siis tuletis sellest liitfunktsiooni on y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produkt esimese kordisti kahekordistunud - derivaat tuntud eksponentfunktsiooni ja Cos (x) - derivaat sinus kompleksi argument ruutfunktsioonina. Lõpptulemus saab transformeerida kasutades valemit trigonomeetrilisi siinus kahekordse nurga all. V: derivaat on Sin (2 · x). See valem on lihtne meeles pidada, see on sageli kasutatud tabeli.