Diagonaal võrdkülgse trapetsi. Mis on keskelt joon trapetsi. Tüübid trapetsid. Trapets - see ..

Trapets - erijuht nelinurga, milles üks paar külgi on paralleelsed. Termin "trapets" pärineb kreeka sõnast τράπεζα, mis tähendab "tabel", "laud". Käesolevas artiklis me vaatleme tüüpi trapets ja selle omadused. Samuti vaatame, kuidas arvutada üksikute elementide geomeetrilist kujundit. Näiteks diagonaal võrdkülgse trapetsi keskel rida, kui muudes valdkondades. Sisalduva materjali elementaarne geomeetria populaarne stiil, t. E. kergesti kättesaadaval viisil.

Ülevaade

Esiteks, ärgem aru nelinurga. See arv on erijuht hulknurk, millel on neli külge ja neli tippu. Kaks tippu nelinurga, mis ei piirne, mida nimetatakse vastupidine. Sama võib öelda ka kaks mitte kõrvuti asetseva külje. Põhitüüpi kvadraate - rööpküliku, ristküliku, rombi, ruudukujuline, trapetsikujuline ja deltalihas.

Nii tagasi trapets. Nagu oleme öelnud, on see näitaja kaks külge on paralleelsed. Neid nimetatakse aluseid. Ülejäänud kaks (mitteparalleelse) - külgedelt. Materjalide erinevate läbivaatust ja väga sageli saate sõlmküsimusi seotud trapetsid, mille lahendamine eeldab sageli õpilase teadmisi ei hõlma programmi. Kooli kursus geomeetria tutvustab õpilastele nurkade omadused ja diagonaalid samuti keskjoont võrdhaarse trapetsi. Aga peale selle nimetatud geomeetriliste kujundite on muid funktsioone. Aga umbes neid hiljem ...

tüüpi trapets

Seal on palju liike see arv. Kuid kõige sagedamini tavaks kaaluda kahte neist - võrdhaarne ja ristkülikukujulised.

1. Ristkülikukujulise trapetsi - arv, mille ühel küljel on risti alusega. Tal on kaks nurka on alati võrdne üheksakümmend kraadi.

2. võrdhaarse trapetsi - geomeetriline kujund, mille küljed on võrdsed. Nii ja nurgad lobus ka võrdsed.

Peamised põhimõtted meetodid omaduste uurimiseks trapetsi

Aluspõhimõtted sisaldavad kasutamist nn ülesanne lähenemist. Tegelikult ei ole vaja sõlmida teoreetiline kursus geomeetria uute omaduste joonisel. Nad võivad olla avatud või protsessi formuleerimisel erinevaid ülesandeid (parem süsteem). On väga oluline, et õpetaja teadma, mida ülesannete teil on vaja panna ees õpilast igal ajahetkel õppeprotsessi. Veelgi enam, iga trapets vara saab esindatud peamine ülesanne ülesande süsteemi.

Teine põhimõte on nn spiraali korralduse uuringu "tähelepanuväärne" trapets omadused. See tähendab tagasipöördumist õppimise protsessis individuaalse funktsioone geomeetriline kujund. Seega õpilast lihtsam meeles pidada neid. Näiteks vara neli punkti. Võib tõestada nii uuringus sarnased ning seejärel kasutades vektoreid. Võrdväärse kolmnurgad külgneb külgede joonis, siis on võimalik tõestada, kasutades mitte ainult omadusi kolmnurgad võrdsed kõrgused läbi mille küljed asuvad ühel sirgjoonel, vaid ka järgmise valemi abil S = 1/2 (ab * sinα). Lisaks on võimalik töötada välja seadus siinus on kirjutatud trapets või täisnurkne kolmnurk ja trapets kirjeldatud t. D.

Kasutamine "kooliväliste" pakub geomeetriline kujund sisu kooli mõista - paneks oma tehnoloogia õpetamine. Constant viide omaduste uurimiseks läbipääsu teiste võimaldab õpilastel õppida trapets sügavamale ja tagab edu ülesanne. Niisiis, astume uuringu see märkimisväärne näitaja.

Elements ja omadused võrdhaarse trapetsi

Nagu oleme märkinud, selles geomeetriline kujund pooled on võrdsed. Kuid see on tuntud kui õige trapets. Ja mis see on nii tähelepanuväärne ja miks sai oma nime? Eripära see arv hõlmab, et ta ei ole mitte ainult võrdse küljed ja nurgad lobus, vaid ka diagonaalselt. Lisaks nurkade summa võrdhaarse trapetsi võrdub 360 kraadi. Aga see pole veel kõik! Ainult umbes võrdhaarne saab kirjeldada ringi kõigi tuntud trapetsid. See on tingitud asjaolust, et summa vastas nurgad on see näitaja 180 kraadi, ja ainult selle tingimusega võib kirjeldada kui ring ümber nelinurga. Järgmised omadused geomeetriline kujund on see, et kaugus aluse peale projektsiooniga vastase piigid liinil, mis sisaldab käesoleva aluse võrdub keskjoonel.

Nüüd vaatame, kuidas leida nurgad võrdhaarse trapetsi. Mõtle sellele probleemile lahendust, et suurus poolte tuntud tegelase.

otsus

On tavapärane, et tähistada kvadraadis tähtedega A, B, C, D, kus BS ja BP - vundament. In võrdhaarse trapetsi küljed on võrdsed. Eeldame, et nende suurus on võrdne X ja Y mõõtmed on alused ja Z (vähemal ja suurem, vastavalt). Arvutamiseks nurga vajadust kulutada kõrgus H. Tulemuseks on täisnurkne kolmnurk ABN kus AB - hüpotenuus ja BN ja AN - jalad. Arvuta suurus jala: lahutada suurema alusega, minimaalne ja tulemus jagatakse 2. kirjutada valem: (ZY) / 2 = F. Nüüd arvutada terava nurga kolmnurga kasutamise funktsiooni cos. Me saada järgmise kande: cos (β) = X / F. Nüüd arvutada nurk: β = arcos (X / F). Lisaks teades ühe nurga, saame määrata ja teine, et muuta see elementaarne aritmeetikatehtena: 180 - β. Kõik nurgad on määratletud.

On ka teine lahendus sellele probleemile. Alguses jäetakse välja nurgas jala kõrguse N. arvutab väärtusest BN. Me teame, et ruudu hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga võrdne summa ruutude teised kaks külge. Me saame: BN = √ (X2 F2). Järgmine, mida me kasutame trigonomeetriliste funktsiooni tg. Tulemuseks on: β = arctg (BN / F). Teravnurk leitakse. Edasi me defineerime nürinurga nagu esimene meetod.

Vara diagonaalide võrdhaarse trapetsi

Esiteks, me kirjutada nelja eeskirjad. Kui diagonaali viiakse võrdhaarse trapetsi on risti, siis:

- kõrguse joonis võrdub summaga alustega, mis on jagatud kahega;

- selle kõrgus ja keskjoonele on võrdsed;

- ala trapetsi võrdub ruudu kõrgus (keskjoone poole alused);

- ruudu diagonaalist nelinurksest on võrdne poolega summa kahekordne ruudu aluste või keskjoonel (kõrgus).

Nüüd pilk valemiga, mis määratleb diagonaal võrdkülgse trapetsi. See tükk teavet võib jagada neljaks osaks:

1. valemiga diagonaali pikkuse kaudu külili.

Me eeldame, et A on - madalama baasi, B - Top, C - võrdse külge, D - diagonaalne. Sel juhul pikkuse saab määrata järgmiselt:

D = √ (C2 + A * B).

2. Valem diagonaali pikkuse koosinuse.

Me eeldame, et A on - madalama baasi, B - Top, C - võrdse külge, D - diagonaalne, α (alumises alus) ja β (ülemine alus) - trapets nurkades. Saame järgmise valemi, mille abil saab arvutada diagonaali pikkuse:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosa);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).

3. Valemi diagonaali pikkuse võrdhaarse trapetsi.

Me eeldame, et A on - alumist alust, B - ülemine, D - diagonaalne, M - keskjoonele H - kõrgus, P - area trapetsi, α ja β - vahelisest nurgast diagonaalis. Määraks järgmised valemid:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Sel juhul võrdsuse: sinα = sinβ.

4. valemiga diagonaali pikkuse kaudu poole ja kõrguse.

Me eeldame, et A on - alumist alust, B - Parima, C - külgedel, D - diagonaalne, H - kõrgus, α - nurk, mille alumine alus.

Määraks järgmised valemid:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elemendid ja omadusi ristkülikukujuline trapetsi

Vaatame, mida on huvitatud sellest geomeetrilist kujundit. Nagu oleme öelnud, on meil ristkülikukujuline trapetsikujuline kahe täisnurga.

Lisaks klassikalise definitsiooni, on teisigi. Näiteks ristkülikukujulise trapetsi - trapetsikujuline, milles üks pool on risti alusega. Või kuju, millel on pool nurgad. Seda tüüpi trapezoids kõrgus on see külg, mis on risti alustega. Keskel line - segment, mis ühendab keskpunktid kaks külge. Vara nimetatud element on, et see on paralleelne alustega ja on võrdne poolega nende summa.

Nüüd Vaatleme põhilisi valemeid, mis määratlevad geomeetrilisi kujundeid. Selleks, eeldame, et A ja B - aluse; C (risti alusega) ja D - pool ristkülikukujulise trapetsi M - keskmine joon, α - teravnurga, P - piirkond.

1. küljel risti alustega, see näitaja on võrdne kõrgusega (C = N), ja see võrdub pikkuse teise külje A ja siinuse nurk α kiiremas aluse (C = A * sinα). Pealegi on võrdne produktiga tangens teravnurk α ja erinevus alustega: C = (A-B) * tgα.

2. poolel D (mitte risti alusega) võrdub jagatisena vahe A ja B ning koosinuse (α) või terava nurga eraviisilise kõrgust joonistes H ja sine teravnurga: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. külg, mis on risti alustega, võrdub ruutjuur ruudu vahe D - teine külg - ja ruudukujulise põhjaga erinevustega:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side ristkülikukujuline trapetsi võrdub ruutjuur ruudu summa ruudu külje ja C alustega geomeetrilise kujundi erinevust: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. küljel C võrdub jagatise ruudu kahekordse summa oma alustega: C = P / M = 2P / (A + B).

6. määratud alal toote M (keskjoone ristkülikukujulise trapetsi) kõrgune või külgsuunas risti alustega: P = M * N = M * C.

7. Positsioon C on jagatis kahekordne ruudukujuline korrutise sine teravnurga ja summa selle alustega: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. valemiga pool ristkülikukujulise trapetsi kaudu diagonaalil ja nendevahelise nurga:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kus D1 ja D2 - diagonaal trapetsi; α ja β - nendevahelise nurga.

9. valemiga külje nurga madalamas aluse ja teised: A = (A-B) / cosa = C / sinα = H / sinα.

Kuna trapets, mille täisnurk on konkreetsel juhul trapetsi, teine valemid, mis määravad need arvud, kohtub ja ristkülikukujulised.

omadused incircle

Kui tingimus on öelnud, et ristkülikukujuline trapetsikujuline kantud ringi, siis saate kasutada järgmisi omadusi:

- summa on aluseks summa külgedele;

- kaugusel tippu ristkülikukujulised kuni puutepunktide kantud ringi on alati võrdne;

- kõrgus trapetsi võrdub küljel, mis on risti alustega ja võrdub läbimõõduga ringi ;

- ringi keskel on punkt, kus lõikuvad poolitajad nurgad ;

- kui külje puutepunkti jaguneb pikkused N ja M, siis ringi raadius võrdub ruutjuur produktiga need segmendid;

- nelinurga poolt moodustatud kokkupuutepunkte, ülaosas trapetsi keskpunktini kantud ringi - see on ruut, mille külg on võrdne raadiuse;

- ala joonisel on toode põhjus ja toode poole summa alused haripunkti.

Sarnased trapets

See teema on väga kasulik omaduste uurimiseks geomeetrilisi kujundeid. Näiteks diagonaalselt jaotatud neljaks kolmnurgad trapetsi ja külgnevad baasi jms ning külgedele - võrdse. See väide võib nimetada vara kolmnurgad, mis on katki trapets selle diagonaalis. Esimene osa sellest avaldust tõestanud märgi sarnasuse kaks nurka. Et tõestada teine osa on parem kasutada allpool toodud meetodil.

tõend

Nõus, et joonisel ABSD (AD ja BC - alusel trapetsi) on katki diagonaalid HP ja AC. Ristumiskohta - O. Me saame neli kolmnurgad: AOC - alumises baas, VSP - aluse ülemise, ABO ja SOD külgedel. Kolmnurgad SOD ja biofeedback on ühine kõrgus sel juhul, kui segmendid BO ja OD on nende alustega. Leiame, et erinevus nende ruumides (P) on võrdne erinevusega nende segmentide: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Järelikult PSOD = PBOS / K. Samuti kolmnurgad AOB ja biofeedback on ühine kõrgus. Aktsepteeritud nende aluse segmendid SB ja OA. Saame PBOS / PAOB = CO / OA = K ja PAOB = PBOS / K. Sellest järeldub, et PSOD = PAOB.

Et kindlustada materjali õpilased saavad leida seost valdkondades kolmnurgad saadud, mis on katki trapets selle diagonaalid, otsustades järgmine ülesanne. On teada, et kolmnurgad BOS ja ADP valdkondades on võrdsed, siis on vaja leida ala trapetsikujuline. Kuna PSOD = PAOB, seejärel PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Alates sarnasust kolmnurgad BOS ja ANM järeldub, et BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Järelikult PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Saa PSOD = √ (* PBOS PAOD). Siis PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

omadused sarnasus

Jätkates arendada seda teemat, siis on võimalik tõestada, ja muid huvitavaid funktsioone trapetsid. Niisiis, abiga sarnasust võib osutuda vara segment, mis läbib punkti moodustatud ristumiskohas diagonaalide geomeetriline kujund, maapinnaga paralleelselt. Sest seda me lahendada järgmised probleemid: on vaja leida pikkus RK segment, mis läbib punkti O. Alates sarnasuse kolmnurgad ADP ja SPU järeldub, et AO / OS = AD / BS. Alates sarnasust kolmnurgad ADP ja ASB järeldub, et AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). See tähendab, et BS * PO = AD / (AD + BC). Samuti nähtub sarnasuse kolmnurgad MLC ja ABR järeldub, et OK * BP = BS / (BP + BS). See tähendab, et OC ja RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment läbivast lõikepunkt diagonaalid paralleelne alusega ja ühendab kahe poole, lõikepunkt on lõikamata. Selle pikkus - on harmoonilise keskmisena põhjus arvud.

Kaaluge järgmist omadused trapets, mida nimetatakse vara neli punkti. ristumiskohta diagonaalide (D), ristumiskohas jätkumise küljed (E), samuti keskel alustega (T ja G) alati asetsema samal joonel. See on lihtne tõestada sarnasuse meetod. Saadud kolmnurgad on sarnased BES ja AED ja igaühes keskmiselt ET ja DLY jagada tipunurk E võrdsetes osades. Seega punktis E, T ja F on sirgel. Samamoodi samal joonel paiknevad nii T, O ja G. See tuleneb sarnasus kolmnurgad BOS ja ANM. Seega võime järeldada, et kõik neli mõttes - E, T, O ja F - lasub sirge.

Kasutades sarnast trapetsid, võib pakkuda õpilastele leida pikkuse segmendi (LF), mis jagab joonis kaheks jms. See lõigatud peab olema paralleelne alustega. Kuna sai trapetsi ALFD LBSF jms, BS / LF = LF / AD. See tähendab, et LF = √ (BS * BP). Me järeldame, et segment, mis jaguneb kahe trapets nagu pikkus võrdne geomeetrilise keskmise pikkuste aluste aru.

Kaaluge järgmist sarnasuse vara. See põhineb segment, mis jagab trapets kaheks võrdse suurusega tükki. Nõus, et trapets ABSD segment on jagatud kahte sarnast EH. Ülevalt B alandas kõrguseni segment on jagatud kaheks osaks ET - B1 ja B2. Saada PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Edasine koostada süsteemi, milles esimene võrrandi (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 ja teine (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Sellest järeldub, et B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) ja BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Leiame, et pikkus jagades trapetsi kahel võrdsed, võrdub keskmise pikkusega ruutvõrrandi alustega: √ ((CN2 + aq2) / 2).

sarnasuse järeldused

Seega oleme tõestanud, et:

1. segment ühendavad keset trapetsi hetkel külgede paralleelselt BP ja BS ja BS on aritmeetilise keskmise ja BP (aluse pikkusest trapetsikujuline).

2. bar läbib punkti O diagonaalide ristumiskohas paralleelselt AD ja BC on võrdne harmoonilise keskmisena numbrid BP ja BS (2 x BS * AD / (AD + BC)).

3. segment murda sarnastes trapets pikkus geomeetriline keskmine alused BS ja BP.

4. element, mis jagab kuju kaheks võrdse suurusega, pikkus ruutkeskmine numbrid BP ja BS.

Et kindlustada materjali ja teadlikkust seosed segmentide õpilane on vaja ehitada neid konkreetseid trapets. Ta võib kergesti kuvada keskmine rida ja segment, mis läbib punkti - ristumiskohas diagonaalid arvud - maapinnaga paralleelne. Aga kus on kolmas ja neljas? See vastus viib õpilase avastamist tundmatu suhet keskmised väärtused.

Segment liitumist keskpunktid diagonaalid trapetsi

Kaaluge järgmist vara joonisel. Võtame, et segment MN on paralleelne alustega ja jagada pooleks diagonaalselt. ristumiskohta nimetatakse W ja S. See segment on võrdne poole vahe põhjusel. Uurigem seda üksikasjalikumalt. MSH - keskmine rida kolmnurk ABS, see on võrdne BS / 2. Minigap - keskmine joon kolmnurga DBA on võrdne AD / 2. Siis leiame, et SHSCH = minigap-MSH seetõttu SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

raskuskese

Vaatame, kuidas määratleda element antud geomeetrilist kujundit. Selleks peate laiendada baasi vastassuunas. Mis see tähendab? On vaja lisada aluse ülemise põhja - ükskõik pooled, näiteks paremale. Madalam pikendada pikkus ülemises vasakus. Seejärel ühendage oma diagonaali. Ristumiskohta selles segmendis keskjoone joonis on raskuskeskme trapetsi.

Kantud ja kirjeldatud trapets

Olgem nimekirja funktsioonid sellised arvud:

1. Line saab ringjoone ainult siis, kui see on võrdhaarne.

2. ringil võib kirjeldada kui trapetsi, tingimusel, et summa pikkustest nende alused on summa külgede pikkused.

Tagajärjed kantud ringi:

1. kõrgust trapetsi kirjeldatud alati võrdne kahekordse raadiuse.

2. pool trapets kirjeldatud vaadatuna kesklinnas ringi täisnurga.

Esimene tagajärg on ilmne, ja tõestada teise kehtestama, et nurk SOD on otsene, see tähendab, tegelikult ka ei ole lihtne. Aga teadmised selle vara võimaldab kasutada täisnurkse kolmnurga probleeme lahendada.

Nüüd täpsustada tagajärjed võrdhaarse trapetsi, mis on kantud ringi. Saame, et selle kõrgus on geomeetriline keskmine näitaja alustega: H = 2R = √ (BS * BP). Täitmine põhimeetod probleemide lahendamisele trapetsid (põhimõte Kahe kõrgusega), õpilane peab lahendama järgmised ülesanne. Nõus, et BT - kõrgus võrdhaarse arvud ABSD. Sul on vaja leida venib AT ja AP. Rakendades ülalkirjeldatud valemile, see teeb ei ole raske.

Nüüd andke meile selgitada, kuidas määrata ringi raadius kirjeldatud piirkonna trapets. Omitted ülevalt B kõrgust alusele BP. Kuna ringi kantud trapetsi, BS + 2AB = BP või AB = (BS + BP) / 2. Alates kolmnurga ABN leid sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Saada PABSD = (BP + BS) * R järeldub, et R = PABSD / (AD + BC).

.

Kõik valemid keskjoonel trapets

Nüüd on aeg minna viimase elemendi käesoleva geomeetriline kujund. Me mõistame, milline on keskmine joon trapetsi (M):

1. Läbi alustega: M = (A + B) / 2.

2. Pärast kõrgust, aluse ja nurgad:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Läbi kõrgus ja diagonaali nurga vahel. Näiteks D1 ja D2 - diagonaal trapetsi; α, β - nendevahelise nurga:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. ala piires ja kõrgus: M = R / N.