Boole'i algebra. algebra loogika. Elemendid matemaatiline loogika

Tänapäeva maailmas me üha kasutades erinevaid masinaid ja vidinaid. Ja mitte ainult siis, kui see on vajalik kohaldada sõnalt üliinimlik tugevus: liiguta koormus tõsta see kõrgus, kaevama pikk ja sügav kraav jne Auto täna koguma robotid, toit on keedetud Multivarki ja elementaarne aritmeetika arvutused toota kalkulaatorid ... Üha sagedamini kuuleme fraasi "Boole'i algebra". Ehk on aeg mõista rolli inimeste loomisel robotid ja masinad võime lahendada mitte ainult matemaatiline, vaid ka loogiline probleeme.

loogika

Kreeka loogika - korrastatud süsteemi mõtte, mis loob seost antud tingimustel ja võimaldab teha järeldusi põhineb eeldustel ja hinnangutel. Üsna sageli, palume üksteist: "See on loogiline" Vastuse kinnitab meie eeldused või kritiseerib mõttelaadi. Kuid see protsess ei lõpe: jätkame rääkida.

Vahel teatud tingimustele (sisend) on nii suur, ja nendevaheline suhe on nii segane ja keeruline, et inimese aju ei ole võimeline "seedima" kõik korraga. Teil võib tekkida vajadus üle ühe kuu (nädala jooksul) arusaamiseks, mis toimub. Aga tänapäeva elu ei anna meile need ajavahemikud teha otsuseid. Ja me pöörduma abi arvuteid. Ja see on siin, et on algebra ja loogika, oma seaduste ja omadused. Pärast allalaadimist kõik algandmed lubame arvuti tuvastab kõik suhted, kõrvaldada vastuolud ja leida rahuldav lahendus.

Matemaatika ja loogika

Kuulsad Gotfrid Vilgelm Leybnits formuleeritud kontseptsiooni "matemaatiline loogika", mis ülesanded olid lihtne mõista ainult väike ring teadlasi. Erilist huvi on suund ei põhjustanud, ning keset XIX sajandi matemaatilise loogika teada vähe.

Suur huvi teadlaskond on põhjustanud vaidluse kus inglane Dzhordzh Bul teatas oma kavatsusest asutada filiaali matemaatika, millel ei ole mingit praktilist kasutamist. Nagu me teame ajaloost, sel ajal aktiivselt arendada tööstustoodang, oleme välja töötanud igasuguseid abimasinate, t. E. Kõik teaduslikud avastused on olnud praktilise suunitlusega.

Tulevikku vaadates ütleme, et Boole'i algebra - enim kasutatud tänapäeva maailmas osa matemaatika. Nii et teie argument Buhl kadunud.

Dzhordzh Bul

Isiksuse autor väärib erilist tähelepanu. Isegi arvestades asjaolu, et minevikus inimesed kasvas üles enne meid, ikka tuleb märkida, et 16 aastat John. Buhl õpetas küla kooli ja 20 aastat avas ta oma kooli Lincoln. Matemaatik täiesti õppinud viis võõrkeeli ja Vabal ajal luges teoste Newton ja Lagrange. Ja kõik see - tavalisel töötaja poeg!

Aastal 1839, Buhl saatis oma esimese teadusartikli Cambridge Mathematical Journal. Teadlane välja 24 aasta. Boole töö on nii huvitatud liikmed Royal Society, 1844 sai ta medali tema panust arengu matemaatilise analüüsi. Paar Töid, mille elemendid matemaatiline loogika, matemaatika lubatud noor võtta professori College of Cork County kirjeldatud. Tuletame meelde, et väga Boole haridus ei olnud.

idee

Põhimõtteliselt Boole'i algebra on väga lihtne. On avaldused (loogiline väljendeid), et alates seisukohast matemaatika, on võimalik määratleda kahe sõnaga: "true" või "false". Näiteks puud kevadel õitsema - tõde, suvel sajab lund - vale. Ilu matemaatika on see, et see ei ole tingimata vajalik kasutada ainult numbrid. Sest algebra kohtuotsuste üsna sobivad kõik avaldused unikaalse tähenduses.

Seega algebra loogika saab kasutada sõna otseses mõttes kõikjal: planeerimine ja kirjalikult juhendamine, analüüs vastuolulist teavet sündmuste ja määramise tegevuste jada. Kõige tähtsam - mõistma, et see ei ole oluline, kuidas me teeme kindlaks õigsuse üle avalduste. Nendest "kuidas" ja "miks" sa pead ignoreerida. Oluline on ainult tõdemus: tõde on vale.

Muidugi, programmeerimine tähtsamaid funktsioone algebra loogika, mis on salvestatud asjakohased märgid ja sümbolid. Ja õppida neid - see tähendab, et õppida uut võõrkeelt. Miski pole võimatu.

Põhimõisted ja määratlused

Laskumata sügavus, tegeleme terminoloogia. Niisiis, Boole'i algebra eeldab:

• avaldused;
• loogilisi operatsioone;
• funktsioonid ja seadusi.

Avaldused - mis tahes jaatav väljend, mida saab tõlgendada kahe hinnatakse. Need on kirjutatud numbritena (5> 3) või valmistada tuttavaid sõnu (elevant - suurima imetaja). Sel juhul fraasi "kaelkirjak kaela ei ole" on ka õigus olemas, ainult Boole'i algebra defineerida kui "vale."

Kõik avaldused peavad olema ühetähenduslikud, kuid nad võivad olla põhi- või ühend. Viimased kasutamine loogiline kogum. E. algebra avaldused kohtuotsuste ühendi lisamisel moodustunud elementaarsed loogilist operatsiooni.

Boole'i algebra operatsioonide

Meil on juba meeles pidada, et tegevust algebra kohtuotsuste - loogiline. Nii nagu algebra numbreid kasutades aritmeetilisi tehteid liita, lahutada või võrrelda numbreid, matemaatilise loogika elemendid võimaldavad teha keerukaid avaldused, keelata või lõpptulemuse arvutamiseks.

Logic operatsioonide vormistamise ja lihtsus väljendada valemiga, meile tuttav aritmeetika. Omadusi Boole'i algebra valemeid on võimalik salvestada ja arvutada tundmatu. Loogilisi operatsioone tavaliselt salvestatud tõde tabelis. Selle elemendid määratleda sambad ja arvuti operatsiooni, mis neile tehakse, ja rida näitavad tulemus arvutused.

Loogika tegevuse

Kõige tavalisem on Boole'i algebra operatsioonid on eitus (EI) ja loogiline JA ja VÕI. Nii on võimalik kirjeldada praktiliselt kõik sammud algebra otsuseid. Me üksikasjalikult uuritud kõigi kolme operatsioone.

Eitus (mitte) rakendatakse ainult üks element (operandi). Seetõttu operatsiooni nimetatakse unaarse eitust. Salvestama mõiste "mitte A" lehe Selliste sümbolite: ¬, A või selle !. Tabelina see näeb välja selline:

Funktsiooni keelamise tüüpiline selline avaldus: kui A on tõene, siis A - on vale. Näiteks Kuu tiirleb ümber Maa - tõde; Maa tiirleb ümber Kuu - vale.

Loogiline korrutamine ja lisaks

Loogiline JA operatsiooni nimetatakse koos. Mis see tähendab? Esiteks, et seda saab rakendada kahe operandi, st I - .. binaartehe. Teiseks, see on ainult juhul tõde nii operandi (nii A ja B) on tõene ja väljend ise. Vanasõna "Kannatlikkus ja natuke vaeva" tähendab, et ainult kaks tegurit aitab isikul raskustega toime tulla.

sümbolite registreerimiseks kasutatakse: A ∧, A⋅B või A && B.

Sidesõna on sarnane korrutamine aritmeetika. Mõnikord ja öelda - loogilise korrutamise. Kui sa korrutad elemendid ridade tabelisse, saame sarnase tulemuse loogiline mõtlemine.

Lahkmel on loogiline OR operatsiooni. On tõsi, kui vähemalt üks avaldused on tõsi (kas A või B). See on kirjutatud nii: A ∨ B, A + B või A || B. tõde tabel need toimingud on:

Lahkmel sarnane aritmeetiline lisamist. loogiline Lisaks operatsiooni on ainult üks liik: 1 + 1 = 1. Aga me meeles pidama, et digitaalsel kujul piirdub matemaatilise loogika 0 ja 1 (kus 1 - tõde, 0 - vale). Näiteks avaldus "muuseumis saab näha meistriteos või leida hea firma" tähendab mida näed kunstiteosed, ja see on võimalik kohtuda huvitav inimene. Samal ajal ei välista samaaegset täitmist nii sündmusi.

Funktsioonid ja seadused

Niisiis, me juba teame, mida loogiline operatsioon, kasutades Boole'i algebra. Funktsioonid kirjeldada kõiki omadusi elemendid matemaatilise loogika ja võimaldab meil lihtsustada kompleksühendi avaldused. Kõige selge ja lihtne tundub tagasilükkamise vara derivaadid operatsioone. Autor derivaadid on arusaadav XOR, kaudselt ja samaväärsuse. Nagu me lugenud ainult põhitoiminguid ja seejärel vara on ka arvesse ainult neid.

Assotsiatiivsuse tähendab, et avaldused nagu "nii A ja B ja B 'järjestuse loetelu operandi ei ole oluline. Valem on kirjutatud järgmiselt:

(A ∧) ∧V = A ∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A ∨ B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Nagu näete, see ei ole unikaalne koos vaid lahkmel.

Kommutatiivsus väidab, et tulemus sidesõna või lahtiühendamise ei sõltu mis toode peeti alguses:

A ∧ = B∧A; A ∨ B = B∨A.

Distributivity lahtrisse avalikustab sulgudes kompleksi loogikaavaldised. Reeglid on sarnased avamise sulgudes korrutamine ja lisaks algebra:

A ∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A ∨ B) ∧ (A∨V).

Üksus omadused ja nullist, milleks võib olla üks operandil ka sarnaseid algebralise korrutamine null või üks, aga samuti ka ühiku:

A∧0 = 0, A∧1 = A A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotentsus ütleb meile, et kui suhteliselt kahe võrdse operandi tulemus operatsiooni on sama, saate "visata" liigse keeruliseks arutluskäik operandi. Ja koos ja lahtiühendamise operatsioonid on idempotentne.

B∧B = B; B∨B = B.

Omandamine võimaldab meil ka lihtsustada võrrand. Imendumine on sätestatud, et kui väljend rakendatakse ühe operandi, teine operatsioon sama element tulemus operandi vähendamise operatsiooni.

A∧B∨B = B; (A ∨ B) ∧B = B.

operatsioonide järjestust

Tööoperatsioonide järjestust on väga tähtis. Tegelikult, nagu algebra, on esmatähtis funktsioon, mis kasutab Boole'i algebra. Valemid saab lihtsustada ainult suhtes tähtsust toiminguid. Järjestamine olulisim tühise, saame järgmine järjestus:

1. Eitamine.

2. koostoimes.

3. lahkmel, XOR.

4. Mõju, samaväärsuse.

Nagu näete, ainult eitus koos ja ei ole võrdne prioriteet. Prioriteediks lahtiühendamise ja XOR on võrdsed, samuti prioriteetide mõju ja samaväärsuse.

Funktsioonid mõjuta ja samaväärsuse

Nagu oleme öelnud, lisaks põhi loogilisi operatsioone, matemaatilise loogika ja teooria algoritmid, mis kasutavad derivaadid. On kõige sagedamini mõjuta ja samaväärsuse.

Mõju või loogiline tagajärg - see avaldus, milles üks tegevus on seisund, ja teine - tulemus selle rakendamist. Teisisõnu, see ettepanek koos ettekäändel "kui ... siis". "Pärast õhtusööki on sooritamisel." E. juhtimiseks tuleb pingutada saaniga mäe. Kui puudub soov liikuda mäelt alla, ja seejärel lohistage Kelk ei ole vajalik. On kirjutatud nii: A → B või A⇒B.

Samaväärsuse tähendab, et net toime avaldub ainult siis, kui mõlemad operandil tõsi. Näiteks öö annab viis päeva, siis (ja ainult siis), kui päike tõuseb üle horisondi. Keeles matemaatilise loogika see avaldus on kirjutatud A≡B, A⇔B A == B.

Muud seadused Boole'i algebra

Algebra kohtuotsuse arendab ja paljud huvitatud teadlased sõnastada uusi seadusi. Kõige kuulsam peetakse postuleerib Šoti matemaatik O. De Morgan. Ta märkas ja andis mõiste selliseid omadusi nii lähedal eitust Lisaks ja kahekordselt negatiivne.

Sulge eitamine viitab sellele, et enne sulgudes ei saa eitada: mitte (A või B) = ei A või B. EI

Kui operandi on keelatud, sõltumata selle väärtus, öelda lisaks:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ja lõpuks, topelt eitust ise kompenseerib. st kas enne operandi eitust kaob või jääb ainult üks.

Kuidas lahendada teste

Loogika ütleb, lihtsustamise ettemääratud võrrandid. Just nagu Lie algebra, on vaja maksimaalselt hõlbustada esimene tingimus (vabaneda keeruline sisend operatsioonide ja nendega), siis hakata otsima õige vastus.

Mida teha, et lihtsustada? Muudab kõik derivaatide lihtne toiming. Siis paljastada kõik sulgudes (või vastupidi, teha sulgudes vähendada selle elemendi). Järgmise sammuna tuleks kasutada Boole'i algebra omadused praktikas (imamisomadused nulli ja ühe ja t.).

Lõppkokkuvõttes võrrandi peaks koosnema vähemalt arv tundmatuga koos lihtoperatsioonid. Lihtsaim viis otsida lahendust, kui teete suur hulk lähedale negatiivid. Siis vastus ilmub justkui iseenesest.