Fourier 'rida: ajalugu ja mõju matemaatilise mehhanismi teaduse

Fourier 'rida - see vaade meelevaldselt valitud funktsioone perioodi järjest. Üldiselt on see lahus on nn laienemine elemendi ortogonaalne alusel. Laienemine funktsioone Fourier 'rida on üsna võimas vahend lahendamiseks mitmesuguseid probleeme omaduste tõttu ümberkujundamise integratsiooni, diferentseerumise, samuti muutus argument ekspressiooni ja keeruga.

Isik, kes ei ole tuttav kõrgem matemaatika, samuti tööde Prantsuse teadlane Fourier, tõenäoliselt ei mõista, mida "auastmed" ja mida nad teevad. Kuid see muundamine üsna kindlalt sisestatud meie elu. Seda kasutatakse mitte ainult matemaatika, vaid ka füüsikud, keemikud, arstid, astronoomid, seismoloogidele, oceanographers ja teised. Anna meile ka lähemalt töödega suur prantsuse teadlane, kes on teinud avastuse, oma ajast ees.

Mees ja Fourier

Fourier seeria on üks meetoditest (koos analüüsi ja teised) Fourier 'teisendus. See protsess toimub iga kord kuuleb iga heli. Meie kõrva automaatselt muundab heli laine. Võnkeliikumist elementaarsed osakesed elastsest keskmise paljundatakse sarjas (spektri) järjestikuste mahu väärtused toonid erinevatel kõrgustel. Järgmine, aju teisendab selle andmed tuttav helid meile. Kõik see on lisaks meie soov või teadvusele, kuid selleks, et mõista protsesse, mis võtab mitu aastat õppida kõrgem matemaatika.

Loe lähemalt Fourier

Fourier 'saab läbi analüütilise, numbreid ja muid meetodeid. Fourier sarjad numbriga Protsess lagunevatest tahes oscillatory protsessid - ookeani loodete ja lainete valgust päikese tsüklite (ja teiste Taevakeha) aktiivsusele. Kasutades neid matemaatilisi meetodeid, on võimalik lahti võtta funktsiooni, mis moodustab tahes võnkuva protsesse paljudes sinusoidi komponente, mis lähevad minimaalselt maksimaalsele ja vastupidi. Fourier teisendus on funktsioon, mis kirjeldab faasi ja amplituudi siinussignaalide vastab kindlale sagedusele. See protsess võib kasutada lahendamiseks väga keeruline võrrandid, mis kirjeldavad dünaamilised protsessid esinevad toimel soojuse, valguse või elektrienergia. Samuti Fourier 'rida kasutati eristamaks DC komponendid keeruline signaalid, mis võimaldab õigesti tõlgendada eksperimentaalsed tähelepanekud meditsiinis, keemia ja astronoomia.

ajalooline teave

Rajaja selle teooria on Prantsuse matemaatik Zhan Batist Zhozef Fure. Tema nimi hiljem ja see ümberkujundamine on kutsutud. Esialgu teadlased kasutasid tehnikat õppida ja mehhanismide selgitamiseks soojusjuhtivus - soojuse levimise tahkistes. Fourier soovituslikke et esialgne ebakorrapärase jaotumine termilise laine võib jaotada kaheks lihtsa siinussignaali, millest igaüks on oma temperatuuri miinimumi ja maksimumi, samuti selle faasi. Seega iga sellise komponendi mõõdetud miinimumist maksimumini ja vastupidi. Matemaatilise funktsiooni, mis kirjeldab ülemiste ja alumiste tippude kõver, samuti faasi iga harmoonilisi, mida nimetatakse Fourier temperatuuri jaotust ekspressiooni. Autor teooria vähendada üldist jaotusfunktsioon, et on raske matemaatiline kirjeldus, väga lihtne käsitseda mitmeid perioodiliste funktsioonide sine ja koosinuse, summas andes esialgse levitamise.

Põhimõte muundamise ja vaateid kaasaegsed

Kaasaegsete - teadlase juhtivaid matemaatikuid juba üheksateistkümnendal sajandil - ei nõustu selle teooria. Põhiline väide oli heakskiitu Fourier et katkendlik kirjeldava funktsiooni sirgjooneliselt või kõvera rebitakse, seda saab esitada summana sinusoidi väljendeid, mis on pidev. Näiteks kaaluda "step" Heaviside'i: selle väärtus on null vasakul lõhe ja üks paremal. See funktsioon kirjeldab sõltuvust elektrivooluga ajamuutujaga sulgemise ahela. Kaasaegse teoreetilisest tol ajal ei olnud kunagi tekkinud selline olukord, kui katkev ekspressiooni oleks võimalik kirjeldada pidev-, ühine funktsioon, nagu eksponentsiaalse, sine, lineaarne või ruudukujuline.

Mis häiris Prantsuse matemaatikud teooria Fourier?

Lõppude lõpuks, kui matemaatik õigesti väita, siis liidetakse lõpmatu trigonomeetrilisi Fourier 'ridade, siis on võimalik saada täpne esitus etappi ekspressiooni, isegi kui see on komplekt sarnaseid samme. Alguses XIX sajandil, see avaldus tundus absurdne. Kuid vaatamata kõigile kahtlusi, paljud matemaatikud on laiendatud kohaldamisala seda nähtust, liigutades seda kaugemale soojusjuhtivuse uuringud. Kuid enamik teadlasi jätkuvalt kannatavad küsimusele: "Kas summa siinuslainele seeria läheneb täpset väärtust pausidega funktsioon?"

Konvergents Fourier 'ridade: näiteks

Probleem lähenemise tõuseb iga kord pead liitmise lõpmatu rida numbreid. kaaluda klassikaline näide arusaamist sellest nähtusest. Kas te olete kunagi jõuda seina, kui iga samm on pool eelmise? Oletame kahe meetri kaugusel eesmärk, esimene samm lähemale umbes pool teed, järgmine - märk kolme neljandikku, ja pärast viiendat, siis kaotada peaaegu 97 protsenti teed. Kuid ükskõik kui palju samme olete teinud ole, kui eesmärgiks seatud jõuad range matemaatiline mõttes. Kasutades numbriline arvutused, saame tõestada, et lõpuks võib olla lähemal suvaliselt väikesed kindla vahemaa. See on samaväärne tõend näitab, et koguväärtus poole, üks neljandik, ja nii edasi. E. kipuvad ühtsust.

Küsimus lähenemine: teine sealt, või instrument Lord Kelvin

Korduvalt tekkis küsimus lõpus XIX sajandil, kui Fourier 'rida püüdnud kasutada ennustada intensiivsuse kõigub. Tol ajal Lord Kelvin leiutati seade on Analoogarvuti mis võimaldas meremehed merevägi ja kaubalaevastik monitor on loomulik nähtus. See mehhanism on määratletud erinevaid etappe ja amplituudid tabeli kõrgus loodete ja vastava aja hetked, hoolikalt mõõdetud sadamas aastaringselt. Iga parameetri on sinusoidi komponent ekspressiooni tõusulaine kõrgused ja oli üks regulaarne komponente. Mõõtmistulemused on sisendiks arvutit Lord Kelvin, sünteesides kõver ennustatuga vee kõrgust funktsioonina järgneval aastal. Väga kiiresti, need kõverad koostati kõikide sadamad maailmas.

Ja kui protsess on jaotatud katkendlik funktsioon?

Tol ajal tundus ilmselge, et seade ennustavad hiidlaine, mille paljud elemendid konto saab arvutada palju etappe ja amplituudidega ja nii annavad täpsema prognoosi. Siiski selgus, et see muster ei täheldatud juhtumeid, kus loodete väljend, mis sünteesitakse, sisaldas järsk hüpe, see tähendab, on katkendlik. Juhul kui seade sisestada andmeid tabel ajahetkedel, siis arvutab paari Fourier koefitsiendid. Taastamine esialgse funktsiooni tõttu sinusoidi komponent (kooskõlas leitud koefitsiendid). Lahknevus originaal ja rekonstrueeritud ekspressiooni saab mõõta mis tahes punktis. Kui korduva arvutused ja võrdlused võib näha, et väärtus suurim viga ei vähene. Kuid nad on lokaliseeritud piirkonnas, mis vastab punkti rebend ja muid punkt kipuvad null. In 1899 tulemust kinnitati teoreetiliselt Joshua Willard Gibbs Yale University.

Konvergents Fourier 'rida ja arengu matemaatika tervikuna

Fourier analüüs ei kehti väljendeid sisaldavaid lõpmatu arv puruneb teatud vahemaadega. Üldiselt Fourier 'ridade, kui algne funktsioon on tingitud tulemus tegeliku füüsikalisi mõõtmisi, alati koonduvad. Küsimused lähenemise protsessi konkreetsete klasside funktsioonide viinud uute filiaalide matemaatika, nagu teooria üldiste funktsioone. See on seotud nimedega nagu Schwartz, J .. Mikusiński ja J. Temple. Selle teooria, selge ja täpne teoreetilise aluse näiteks väljend on loodud Dirac delta funktsiooni (see kirjeldab piirkonna ühe ala, koondunud üliväike naabruses punkti) ja "samm" Heaviside'i. Selle töö kaudu Fourier 'rida sai kohaldatakse lahendada võrrandid ja probleeme, mis hõlmavad intuitiivne mõisted: punkt laengu, punkt mass, magnetilise dipooli ning raskune tala.

Fourier meetodit

Fourier 'rida, vastavalt põhimõtetele häireid, algab lagunemine keeruline vormid lihtsamateks. Näiteks muutus soojusvoo tänu oma teekonda läbi erinevate barjääride soojusisolatsioonimaterjaliks ebakorrapärase kujuga või muutes maapinna - maavärina, muutus orbiidi taevakeha - mõju planeedid. Tavaliselt on need kirjeldavad valemid lihtsa klassikalise süsteemi elementaarne lahendatud iga üksiku lainepikkuse. Fourier on näidanud, et lihtsaid lahendusi saab kokku võtta keerulisemate ülesannete. Keeles matemaatika, Fourier 'rida - metoodika esitamise ekspressiooni summa harmooniline - koosinuse ja sine lained. Seetõttu on käesolevas analüüsis on tuntud ka nime all "harmooniline analüüs".

Fourier 'rida - ideaalne meetod on "arvuti vanusest"

Enne loomist infotehnoloogia Fourier meetod on parim relv arsenal teadlased töötavad laine milline meie maailma. Fourier 'rida keerulistes kujul võimaldab teil mitte ainult lahendada lihtsaid probleeme, mis alluvad otse Newtoni seadused mehaanika, vaid ka oluline võrrandid. Enamik avastused Newtoni teaduse XIX sajandil sai võimalikuks ainult tänu Fourier meetod.

Fourier 'rida täna

Mis areng Fourier arvutid on tõusnud uuele tasemele. See tehnika on kindlalt juurdunud peaaegu kõigis valdkondades teaduse ja tehnoloogia. Näiteks digitaalse audio ja video. Selle rakendamine on võimalik ainult tänu arenes Prantsuse matemaatik juba üheksateistkümnendal sajandil. Seega Fourier 'rida keerulistes on võimaldanud saavutada läbimurre uuringus kosmoses. Lisaks mõjutas see uuring füüsika pooljuhtmaterjalide ja plasma, mikrolaineahi akustika, okeanograafia, radar, seismoloogia.

Trigonomeetrilisi Fourier 'ridade

Matemaatika, Fourier 'rida on viis esindavad suvalise kompleks toimib summa lihtsam. Üldiselt juhtudel arv väljendeid võib olla lõpmatu. Mida rohkem loendati arvutamisel, seda täpsem on lõplik tulemus saadakse. Kõige tavalisem lihtne trigonomeetriliste koosinuse või siinuse funktsioon. Sel juhul Fourier 'rida nimetatakse trigonomeetriliste ja otsuse selliste väljendite - harmooniline lagunemine. See meetod on oluline roll matemaatika. Esiteks, trigonomeetriliste seeria nähakse ette vahendid pilti, samuti uuringu funktsioone, see on peamine üksus teooria. Lisaks võimaldab see meil lahendada mitmeid probleeme matemaatilise füüsika. Lõpuks see teooria on aidanud kaasa matemaatilise analüüsi, see tekitas mitmeid väga olulistes harudes matemaatika (teooria integraalid, teooria perioodilised funktsioonid). Lisaks lähtepunktiks arengu järgmise teooriaid: komplekti, funktsioonide tegelik muutuja, funktsionaalne analüüs, samuti pani aluse harmooniline analüüs.