Russelli paradoks: põhiandmed, näited, kokkusegamisel

Russell paradoksaalne on kaks sõltumatut loogilise Vasturääkivus.

Kaks vormid Russelli paradoks

Kõige sagedamini arutati kujul vastuolu loogika komplekti. Mõned komplekt tundub olevat liikmed ise, ja teised - ei. Komplekt kõigi komplekti ise kogum, nii tundub, et see viitab ise. Null või tühi, aga ei tohiks kuuluda ise. Seetõttu komplekti kõik komplekti, null ei kuulu endasse. Paradoks tekib küsimus, kas komplekt liige ise. See on võimalik ainult siis, kui see ei ole.

Teine vorm paradoks on vastuolu seoses omadused. Mõned omadused, tundub, et viidata ise, samas kui teised ei ole. Vara olla omand on vara, samas kui vara on see kass ei ole. Mõtle vara, mille vara, mis ei kuulu talle. kui see kehtib ennast? Jällegi tahes eeldused peaksid olema vastupidine. Paradoks sai nimeks auks Bertrand Russell (1872-1970), kes avastas ta 1901. aastal.

lugu

Avamine Russell toimus tema töö "Principles of Mathematics". Kuigi ta avastas paradoks sõltumatult, on tõendeid, et teised matemaatikud ja arendajad Hulgateooria, sealhulgas Ernst Zermelo ja David Hilbert, olid teadlikud esimese versiooni vastuolusid enne teda. Russell, aga oli esimene, kes arutas üksikasjalikult paradoks tema avaldatud tööd, püüdis sõnastada lahendusi ja esimene mõistaksid selle olulisust. Kogu peatükk "Põhimõtted" oli pühendatud selle küsimuse arutamiseks ja taotluse pühendatud teooria liiki, mis Russell pakutud lahendus.

Russell avastas "paradoks valetaja", arvestades Cantor 'Hulgateooria, mis ütleb, et võimu ühtki on väiksem kui komplekti oma alajaotused. Vähemalt domeen peaks olema võimalikult palju alajaotused nagu on elemente seda, kui üks alagrupis iga element on seatud sisaldavad ainult seda osa. Lisaks Cantor tõestas, et elementide arv ei saa olla võrdne arv komplektidest. Kui oli sama number, siis oleks olemas ƒ funktsioon, mis kuvab elemendid nende alajaotused. Samal ajal on võimalik tõestada, et see on võimatu. Mõned objektid võivad olla kuvatud funktsiooni ƒ alajaotused, mis sisaldavad neid, teised mitte.

Mõtle alagrupis elemente, mis ei kuulu nende pilte, kus nad näidata ƒ. On iseenesest alagrupis elemente ja seetõttu ƒ funktsioon oleks näidata seda osa domeeni. Probleem on selles, et siis tekib küsimus, kas see element kuulub alagrupis, kus ekraanil ƒ. See on võimalik ainult siis, kui see ei kuulu. Russelli paradoks võib näha näiteks sama mõttekäiku ainult lihtsustatud. Veelgi enam - komplekti või alajaotused komplekti? Tundub, et seal peaks olema rohkem komplekti, nagu kõikide alarühmade kohta komplekti ise. Aga kui Cantor teoreemi on tõsi, siis ei tohiks olla rohkem alajaotused. Russell pidada lihtsalt näidata komplekti ise ja rakendada kantoriansky lähenemisviisi arvestades komplekti kõik need elemendid, väljaspool kogum, kus nad on kuvatud. Näitan Russell muutub komplekti kõik komplekti, mitte.

vea Frege

"Paradoks valetaja" oli sügav mõju ajaloolise arengu teooria komplekti. Ta näitas, et mõiste universaalne komplekt on väga problemaatiline. Ta seadis kahtluse alla ka arusaam, et iga määratletud tingimuse või predikaadi võib eeldada olemasolu paljude ainult neid asju, mis rahuldavad seda tingimust. Valik paradoks puudutavad omadused - loomulik jätk versioonile komplekti - tekitab tõsiseid kahtlusi, kas see on võimalik vaielda eesmärk olemasolu vara või universaalne vastavuse iga määratud tingimus või predikaat.

Varsti vastuolusid ja probleeme töö logicians leiti, filosoofid ja matemaatikud, kes on teinud samalaadseid eeldusi. Aastal 1902, Russell leidis, et variant paradoks saab väljendada loogilise süsteemi, mis töötati välja I köite Gottlob Frege on "Foundations of aritmeetika", üks peamisi töid loogika hilja XIX - alguses XX sajandil. Filosoofia Frege palju mõista kui "laiendus" või "väärtus-vahemik" mõiste. Mõisted on lähim omadega korrelaate. Neilt oodatakse olemas mis tahes tingimus või predikaat. Seega on mõiste kogum, mis ei kuulu selle määratlemisel mõistet. Samuti on klassi määratletud seda mõistet ja selle suhtes määratledes selle mõiste üksnes juhul, kui see ei ole.

Russell kirjutas Frege sellest konflikt juuni 1902 Kirjavahetus on saanud üks kõige põnevam ja rääkisime ajaloos loogika. Frege kohe ära katastroofilised tagajärjed paradoks. Ta märkis siiski, et versiooni poleemikat omadused tema filosoofia lahenes eristades mõistete tasandil.

Frege ettekujutusele mõista üleminekut funktsiooni argumentideks tõeseks. Mõisted esimese taseme võttes argumentidena objektid teise taseme mõisted võtta argumendid nende funktsioonidega, ja nii edasi. Seega mõiste ei saa kunagi võtta ise argumendina ja paradoks poolest omadusi ei saa sõnastada. Siiski komplekti, laiendamine või mõistete Frege mõista kui viidet sama loogiline tüüp, nagu kõigi teiste objektide kohta. Siis iga komplekt on küsimus, kas see kuulub mõiste määratlemisel seda.

Kui Frege, Russell sai esimene täht, teine maht "Foundations of aritmeetika" on juba lõppenud printida. Ta oli sunnitud kiiresti valmistada rakendus, mis annab vastuse paradoks Russell. Näited Frege sisaldas mitmeid võimalikke lahendusi. Aga ta jõudis järeldusele, et nõrgendada mõiste võtmiseks seatud loogiline süsteem.

Esialgse, see oli võimalik järeldada, et objekt kuulub komplekti siis ja ainult siis, kui see kuulub mõiste, määratleb ta. Muudetud süsteemi saab ainult järeldada, et objekt kuulub komplekti siis ja ainult siis, kui see kuulub mõiste määratletakse hulk, kuid mitte seada kahtluse. Russelli paradoks tekib.

Lahendus, aga ei ole täiesti rahul Frege. Ja see oli põhjus. Mitu aastat hiljem, keerukam vastuolu ei leitud läbivaadatud süsteemi. Aga isegi enne seda juhtus, Frege loobunud otsuseid ja tunduvad jõudnud järeldusele, et tema lähenemine oli lihtsalt teostatav, ning et loogika on teha ilma ühegi komplekti.

Ikka teised on välja pakutud, suhteliselt edukamad alternatiivseid lahendusi. Need on käsitletud allpool.

Teooria tüüpi

Märgiti kõrgemal Frege oli sobiv reageerimine paradokse hulgateooria versioonis formuleerida omadused. Frege vastus eelnes kõige sagedamini arutletud lahendus selles vormis paradoksaalne. See põhineb asjaolul, et omadused kehtivad eri tüüpi ja mis tüüpi vara ei ole kunagi sama esemed, millele see viitab.

Seega, isegi mitte tekib küsimus, kas vara on kohaldatav ise. Loogiline keeles, mis eraldab elemendid nagu hierarhia, kasutades teooria liiki. Kuigi see on juba kasutusel Frege, esmakordselt on täielikult selgitatud ja põhjendatud Russell lisa "põhimõte". Teooria tüüpi oli täiuslikum kui vahet Frege taset. Ta jagas omadused ei ole ainult erinevate loogika, vaid ka määrata. tüübiteooria lahendada vastuolu paradoks Russell järgmiselt.

Selleks, et olla filosoofiliselt piisav, vastuvõtmist teooria liiki omadused on vaja arendada teooria, milline on omadused, nii et võiks selgitada, miks nad ei saa kohaldada ise. Esmapilgul on mõttekas predikaat oma vara. Vara on füüsilisest isikust identiteet, tundub, et on ka ise identiteedi. Vara tundub olevat kena nauditav. Samamoodi ilmselt tundub vale öelda, et vara on kass on kass.

Siiski erinevad mõtlejad õigustatud jagamine erinevat tüüpi. Russell isegi andis erinevaid seletusi eri aegadel oma karjääri. Omalt põhjendus eraldamiseks eri kontseptsioonide Frege tase pärineb tema teooria küllastumata mõisted. Mõisted nagu funktsioon, sisuliselt on puudulikud. Anda raha, mida nad vajavad argument. Sa ei saa lihtsalt üks kontseptsiooni predikaat mõiste sama tüüpi, sest see nõuab veel oma argument. Näiteks, kuigi on võimalik võtta ruutjuur ruutjuur number, sa ei saa lihtsalt kasutada ruutjuure funktsioon ruutjuure funktsioon ja saada tulemus.

Umbes konservatism omadused

Teine võimalik lahendus on paradoksaalne omadused negation omaduste olemasolu mingil antud tingimustel või trimmis predikaat. Muidugi, kui keegi eschews metafüüsilise omadused nii objektiivne ja sõltumatu elemendid tervikuna, kui me võtame Nominalismi paradoks saab täielikult vältida.

Kuid selleks, et lahendada Vasturääkivus ei pea olema nii äärmuslik. Logic kõrgemat järku väljatöötatud Frege ja Russell, sisaldavad nn kontseptuaalne põhimõtet, mille kohaselt iga avatud valemid olenemata sellest, kuidas keerulise olemas osana vara või mõiste näiteks ainult neid elemente, mis vastavad valemile. Nad kohaldada atribuudid kõikvõimalikke tingimusi või predikaadid, ükskõik kui keeruline nad olid.

Siiski oli võimalik võtta rangema metafüüsika omadused, mis annavad õiguse eesmärk olemasolu lihtne omadusi, sealhulgas näiteks nagu punane värv, kõvadus, lahkust ja nii edasi. D. Võite isegi lasta need omadused kehtivad ise, nagu headus saab olla lahke.

Ja sama staatus keeruline atribuute võib keelata, näiteks nagu "omadused", millel seitseteist-pead, tuleb kirjutatud alla vesi jms. D. Sel juhul ei sõiduvahend ei vasta vara, mille all mõistetakse eraldi olemasolevate element, millel on oma omadused. Seega võib eitavad lihtne omadused olla-vara-et-mitte-kohaldatakse-to-self ja vältida paradoks kohaldades konservatiivsemad metafüüsilise omadused.

Russelli paradoks: lahendus

Üle tõdeti, et aasta lõpus oma elu Frege täiesti mahajäetud loogika komplekti. See muidugi üks lahendus Vasturääkivus kujul komplekti: lihtne eitamist selliste elementide tervikuna. Lisaks on teised populaarsed valikuid, põhitõdesid, mis on toodud allpool.

Teooria palju erinevaid

Nagu varem mainitud, Russell mängitakse täiuslikum teooria tüübid, kes jagavad mitte ainult omadusi või mõistete eri liiki, vaid ka määrata. Russell jagamisega seatud põhineb suurel arvul eraldi ühikutena, arvukatest komplekti eraldi objektid jne komplektid objektid ei peetud, ja arvukalt komplekti - .. Komplektid. Palju kunagi nautinud tüüp, laseb teil liikmena ise. Seetõttu ei ole esitatud kõigi komplekti, mis ei kuulu tema enda, sest iga rida küsimusi selle kohta, kas ta on liige, on iseenesest rikkumist tüüp. Jällegi küsimus siin on selgitada metafüüsika komplekti selgitada filosoofilisi aluseid jagamine liiki.

kihistumine

Aastal 1937, V. V. Kuayn on pakkunud alternatiivse lahenduse, sarnaselt teooria liiki. Üldinfo sellest on.

Eralduselemendil komplekti ja teised. Made et eeldusel leida paljude alati on vale või mõttetu. Komplektid võib pakkuda ainult määratlemisel nende tingimused ei ole rikkumist tüüp. Seega Quine väljend "x ei ole liige x" on sisukas avaldus ei tähenda olemasolu komplekti kõik elemendid x vasta sellele tingimusele.

Selles süsteemis komplekt olemas teatud lahtisi valemiga A siis ja ainult siis, kui see on kihistunud, t. E. Kui muutujad on määratud positiivsed täisarvud, nii et iga omaduse esinemise hulga eelnevale see muutuja on määratud ülesande ühiku väiksem muutuja järgmised pärast teda. See blokeerib Russelli paradoks, sest valemis, mis määrab probleemi komplekt on sama enne ja pärast muutuja liikmete märk muudab stratifitseerimata.

Aga see ei ole veel kindlaks teha, kas saadud süsteemi, mis Quine nimega "New Foundations matemaatilise loogika" järjekindel.

tagasilükkamine

Täiesti erinevat lähenemist võetakse teooria Zermelo - Fraenkel (ZF). Siingi seada piirangu olemasolu komplekti. Selle asemel, läheneda "top-down" Russell ja Frege, kes esialgu arvas, et kõik mõisted, omadused või tingimused võivad soovitada olemasolu komplekti kõik asjad selle vara või täita selline tingimus, ZF teooria, kõik algab "alt üles."

Üksikuid elemente tühi hulk ja moodustavad komplekti. Seega, erinevalt varem süsteemid ja Russell Frege FIT ei kuulu universaalse komplekti, mis sisaldab kõiki elemente ja isegi kogu komplekti. ZF seab ranged piirangud olemasolu komplekti. Võib esineda ainult need, kellele see on selgelt väidetud või mida võib valmistada abil iteratiivne protsesse jms. D.

Siis asemel mõiste veevõtu naiivne komplekt, mis väidab, et teatud element on komplektis ainult siis, kui see vastab tingimustele lahususe põhimõte kasutada DF, lahuselu või "sorteerimine". Selle asemel, et eeldades olemasolu komplekti kõik elemendid, mis on eranditult vastama teatud tingimus, iga olemasoleva komplekti Aussonderung näitab olemasolu alagrupis kõik elemendid algne kogum, mis rahuldab tingimust.

Siis tuleb veevõtu põhimõte: kui hulk A on olemas, siis iga x A x kuulub alamhulka A, mis rahuldab tingimust siis ja ainult siis, kui x on täidetud tingimus, C. Selline lähenemine lahendab paradoks Russell, kuna me ei saa lihtsalt eeldada see tähendab, et k~oigi komplekti, mis ei ole liikmed ise.

Võttes palju komplekti, saate valida või jagada see komplekti, mis on ise, ja need, kes ei ole selline, aga kuna ei ole olemas universaalset komplekti me ei ole seotud kogum kõik komplekti. Ilma eeldades probleem seab Russell vastuolu ei ole võimalik tõestada.

muid lahendusi

Lisaks on olnud edasiste pikenduste või modifikatsioonid neist lahendustest, nagu kahvel-tüüpi teooria "Principles of Mathematics" süsteemi laiendamine "matemaatiline loogika" Quine, samuti uuemaid arenguid teooria seab valmistatud Bernays, Gödel ja von Neumann. Küsimus, kas vastuseks lahustumatu paradoks Bertrand Russell leidis, on veel küsimus arutelu.