Põhimõisted Tõenäosusteooria. Seadused tõenäosusteooria

Paljud inimesed, kui vastamisi mõiste "Tõenäosusteooria", hirmunud, mõtlesin, et see on midagi lubamatut, väga raske. Aga see on tegelikult mitte nii traagiline. Täna vaatame põhimõisteid tõenäosusteooria, õppida, et lahendada probleeme konkreetsed näited.

teadus

Mis õpib filiaali matemaatika kui "Tõenäosusteooria"? See märgib mustrid on juhuslikult ja muutujad. Esmakordselt küsimus Concerned Scientists XVIII sajandil, kui uuritud hasartmängud. Põhimõisted Tõenäosusteooria - sündmus. See on iga asjaolu, mis on märgitud kogemused või tähelepanek. Aga milline on kogemus? Teine põhikontseptsioon teooria tõenäosusega. See tähendab, et see osa ei ole asjaolud kogemata loodud, ja eesmärk. Seoses järelevalve on uurija ise ei osale kogemus, vaid lihtsalt tunnistaja neid sündmusi, see ei mõjuta, mis toimub.

sündmused

Me õppisime, et põhimõiste Tõenäosusteooria - juhul, kuid ei pidanud klassifikatsioon. Kõik nad on jagatud järgmistesse kategooriatesse:

• Usaldusväärne.
• Võimatu.
• Juhuslikud.

Ükskõik millisel juhul on, mis jälgib või loodud eksperimendi käigus, neid, keda see klassifikatsioon. Pakume igat liiki kohtuvad eraldi.

teatud juhul

See on fakt, et mida teha vajalikud tegevuste kogum. Selleks, et paremini mõista sisuliselt, siis on parem, et saada mõned näited. See allub seadusele ja füüsika, keemia, majandus, ja kõrgem matemaatika. Tõenäosusteooria hõlmab nii oluline mõiste kui oluline sündmus. Siin on mõned näited:

• Teeme ja saavad töötasu kujul palk.
• Noh eksamite sooritamist konkurssi läbimata seda saada tasu vormis sissepääs õppeasutus.
• Oleme investeerinud raha pangas, saan neid tagasi, kui vaja.

Sellised üritused on tõsi. Kui oleme täitnud kõik vajalikud tingimused, siis kindlasti saada soovitud tulemust.

võimatu sündmus

Nüüd vaatleme elemendid teooria tõenäosusega. Pakume minna selgitusi järgmistes tüüpi sündmusi - nimelt võimatu. Et alustada sätestada kõige tähtsam reegel - tõenäosus võimatu sündmus on null.

Alates selle preparaadi ei saa erandit teha probleemide lahendamisel. Illustreerimaks näited sellistest sündmustest:

• Vesi on külmunud temperatuuril pluss kümme (see on võimatu).
• Puudumine elektrienergia ei mõjuta tootmise (kui võimalik, kuna eelmises näites).

Veel näiteid on esitatud ei ole vajalik, nagu eespool kirjeldatud väga selgelt kajastama sisuliselt selles kategoorias. Võimatu sündmus ei juhtu kunagi katse ajal mingil juhul.

Juhuslikud sündmused

Uurides elemendid tõenäosusteooria, erilist tähelepanu tuleb pöörata antud tüüpi sündmus. Need on need, uurides seda teadust. Selle tulemusena kogemus midagi võib juhtuda või mitte. Lisaks test piiramatu arv kordi saab läbi. Tuntud näited:

• Toss mündi - see on kogemus, või katse, kaotus kotkas - seda sündmust.
• Tõmmates palli kotist pimesi - test, püüti punast palli - see sündmus ja nii edasi.

Selliseid näiteid võib olla piiramatu arv, kuid üldiselt tuleb mõista. Kokkuvõttes ja süstematiseerida omandatud teadmisi sündmuste tabeli. Tõenäosusteooria uuringud ainult viimast tüüpi kõigi esitatud.

seadused

Tõenäosusteooria - teadus, mis uurib võimalust kaotus igal juhul. Nagu teised, see on mõned reeglid. Järgmisi seadusi Tõenäosusteooria:

• Lähenemise järjestused juhuslikud muutujad.
• Seadus suure hulga.

Kui arvutatakse võimalust keeruline saab kasutada keeruline lihtne sündmuste tulemuste saavutamiseks lihtsam ja kiirem viis. Tuleb märkida, et seadused Tõenäosusteooria saab kergesti osutunud abiga mõned teoreemid. Soovitame alustada tutvuda esimene seadus.

Konvergents järjestused juhuslikud muutujad

Pange tähele, et lähendada mitut liiki:

• Jada juhuslikud muutujad lähenemisele tõenäosus.
• Peaaegu võimatu.
• RMS lähenemine.
• Lähenemine jaotus.

Niisiis, lennult, see on väga raske mõista sisuliselt. Siin on mõisted, mis aitab mõista teemat. Alustuseks esimene pilk. Jada nimetatakse lähenemist tõenäosus, kui järgmine tingimus: n läheneb lõpmatusele arv nõuded järjestus on suurem kui null ja lähedal üksus.

Mine järgmisele vaatele, peaaegu kindlasti. Nad ütlevad, et jada koondub peaaegu kindlasti, et juhusliku muutuja n kipub lõpmatuseni, ja R, kipub lähedane väärtus ühtsust.

Järgmine tüüp - lähendada RMS. Kui kasutate SC-õppe lähenemine vektori juhuslikult protsesside vähendab uuring juhuslik koordineerida protsesse.

Oli viimane tüüp, vaatame lühidalt ja minna otse probleemide lahendamisele. Lähenemine jaotus on teine nimi - "nõrk", siis miks. Nõrk lähenemine - on lähenemise jaotusfunktsioonid kõikides punktides järjepidevuse piiri jaotusfunktsiooni.

Ole kindel, et hoida lubadus: nõrk lähenemine on erinev kõigist eespool, et juhusliku muutuja ei ole defineeritud tõenäosuse ruumi. See on võimalik, sest tingimus on loonud üksnes kasutades jaotusfunktsioonid.

Seadus suure hulga

Hea abimees tõend seadus on teoreemide Tõenäosusteooria, näiteks:

• Chebyshevi ebavõrdsust.
• Chebyshevi teoreemi.
• Üldistatud Chebyshevi teoreem.
• Markov teoreem.

Kui vaatleme kõiki neid teoreeme, siis probleem võib kuluda mitu kümneid lehed. Meil on peamine ülesanne - on rakendus Tõenäosusteooria praktikas. Pakume teile just nüüd ja teha seda. Aga enne kui me kaaluda aksioomid Tõenäosusteooria, nad on olulised partnerid probleemide lahendamisel.

aksioomid

Alates esimesest oleme juba näinud, rääkides võimatu sündmus. Pidagem meeles: tõenäosus võimatu sündmus on null. Näide andsime väga ere ja meeldejääv: lumi langes õhutemperatuuril kolmekümne kraadi.

Teine on järgmine: teatud sündmus toimub tõenäosusega ühtsust. Nüüd näitame, kuidas see on kirjutatud abiga matemaatilises keeles: P (B) = 1.

Kolmandaks: juhuslik sündmus võib juhtuda või mitte, kuid võimalus on alati erinevad nullist üheni. Mida lähemale on ühtsus, seda rohkem võimalusi; kui väärtus on nullilähedane tõenäosus on väga väike. Me kirjutada seda matemaatilises keeles: 0

Mõtle viimane, neljas aksioom, mis on: summa tõenäosus kaks sündmust on võrdne summaga nende tõenäosused. Kirjutada matemaatilisi termineid: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksioomat Tõenäosusteooria - see on lihtne reegel, et ei ole raske meeles pidada. Proovime lahendada mõned probleemid, mis põhineb juba omandatud teadmisi.

loteriipileti

Esiteks leiavad lihtsaim näide - loterii. Kujutage ette, et sa ostsid loteriipileti õnne. Milline on tõenäosus, et sa võidad vähemalt kakskümmend rubla? Kokku ringlusse osaleb tuhat piletid, millest üks on auhinnaks viissada rubla, 1000 rubla, kakskümmend viiskümmend rubla ja 100-5. Ülesanne Tõenäosusteooria põhineb kuidas leida viis õnne. Nüüd me koos analüüsida otsuse üle Ülesanded vaade.

Kui me tähistavad poolt auhinnaks viissada rubla, siis tõenäosus on võrdne 0,001. Kuidas me saame? Lihtsalt on vaja mitmeid "õnnelik" piletid jagatud koguarv (antud juhul: 1/1000).

In - suurenedes sada rubla, tõenäosus on võrdne 0,01. Nüüd oleme käitunud samamoodi nagu viimane tegevus (10/1000)

C - resultaat on kakskümmend rubla. Leia tõenäosus on võrdne 0,05.

Ülejäänud piletid Me ei ole huvitatud, kuna nende auhinnaraha on väiksem kui nimetatud tingimus. Täida neljanda aksioomi: Tõenäosus võita vähemalt kakskümmend rubla on P (A) + P (B) + P (C). Kirjas P tähistab tõenäosus päritolu juhul me eelmises sammud on juba leidnud neid. Jääb vaid sätestavad vajalikud andmed, vastus saame 0,061. See number on vastus küsimusele, töökohta.

kaardipakk

Probleemid Tõenäosusteooria on ka keerulisem, näiteks võtta järgmise töö. Enne teki kolmkümmend kuus kaarte. Sinu ülesanne - teha kaks kaarti järjest, ilma segamise pakk, esimese ja teise kaardid peavad olema ässad, sobib ei ole oluline.

Et alustada, leida tõenäosus, et esimene kaart on äss, see lõhe neli ja kolmkümmend kuus. Pange see kõrvale. Me saame teist kaart on äss tõenäosus 335.. Tõenäosus teise sündmuse oleneb kaardi me tõmmatakse esimene, oleme huvitatud, et see oli äss või mitte. Sellest järeldub, et juhul sõltub sündmuse A.

Järgmise sammuna leiame tõenäosus üheaegne rakendamine, st korrutada A ja B. Nende töö on järgmine: tõenäosus üks sündmus korrutatakse tinglikku tõenäosust teise arvutame, eeldades, et esimene sündmus on toimunud, st esimese kaardi me tõmmatakse äss.

Selleks, et saada kõik on selge, annab sellise tähistuse element tinglikku tõenäosust juhul. See arvutatakse eeldusel, et sündmusele juhtus. See arvutatakse järgmiselt: P (B / A).

Me laiendada lahendust meie probleemid: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) või P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Tõenäosus on _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) arvutatakse ümardamine lähima sajandat Peame: .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} 0,11 * 0 , 82 = 0,09. tõenäosus, et me tõmbame kaks ässa järjest võrdub 9/100. väärtus on väga väike, siis järeldub, et tõenäosus sündmuse korral on äärmiselt madal.

unustatud tuba

Pakume teha mõned rohkem võimalusi töökohtade, mis uurib teooria tõenäosusega. Lahenduste näiteid mõnede need, mida olen näinud selles artiklis, proovige lahendada järgmised probleemid: Poiss unustasin telefoninumber viimast numbrit oma sõbra, kuid kuna kõne oli väga oluline, siis hakkas kiirenemist iga omakorda. Me peame arvutada tõenäosust, et ta kutsuks mitte rohkem kui kolm korda. lihtsaim lahendus probleemile, kui tead reegleid, seadusi ja aksioomid Tõenäosusteooria.

Enne näete lahendust, proovige lahendada oma. Me teame, et viimane arv võib olla nullist kuni üheksa, kokku kümme väärtusi. Tõenäosus nõutav punktisumma on 1/10.

Järgmine peame kaaluma võimalusi päritolu sündmused, oletame, et poiss arvasid õige ja võitis õige, tõenäosus selliste sündmuste võrdub 1/10. Teine variant: esimene kõne slip ja teine eesmärk. Me arvutame tõenäosus selliste sündmuste: 9/10 korrutatakse 1/9 lõpuks saame 1/10. Kolmas võimalus: esimese ja teise kõne osutus vale aadressi, vaid kolmas poiss oli, kui ta tahtis. Arvutage tõenäosus selliste sündmuste: 9/10 korrutatakse 8/9 ja 1/8, saame tulemusena 1/10. Muud valikud tingimusel probleemi me ei ole huvitatud, see jääb meile kehtestada need tulemused, et lõpuks on meil 3/10. Vastus: Tõenäosus, et poiss oleks helistada mitte rohkem kui kolm korda, 0,3.

Kaardid numbrite

Enne üheksa kaardid, millest igaüks on kirjutanud mitmeid ühe kuni üheksa numbrid ei kordu. Nad panna kasti ja segatakse põhjalikult. Sa pead arvutada tõenäosust, et

• valtsitud paarisarv;
• kahekohaline.

Enne otsuse sätestada, et m - on mitmeid edukaid juhtumeid, ja n - koguarv võimalusi. Olgem leida tõenäosus, et number on isegi. Kas pole raske välja arvutada, et isegi numbrid nelja, ja see on meie m, kõik üheksa võimalusi, mis on m = 9. Siis tõenäosus on võrdne 0,44 või 4/9.

Me peame Teisel juhul, variantide arv üheksa ja eduka tulemuse ei saa üldse, see on m on null. Tõenäosus, et piklik kaart sisaldab kahekohalise numbriga, null.