MoodustamineKeskharidus ja koolid

Määramata lahutamatu. Arvutamine määramata integraalid

Üks põhilisi osi matemaatiline analüüs on lahutamatu calculus. See hõlmab väga laia valdkonda objektide, kus esimene - see on määramata integraal. Positsioon see seisab nagu võti, mis on veel keskkoolis paljastab üha rohkem väljavaateid ja võimalusi, mis kirjeldab kõrgem matemaatika.

välimus

Esmapilgul tundub täiesti lahutamatud kaasaegne, aktuaalne, kuid praktikas selgub, et ta tuli tagasi 1800 eKr. Kodu ametlikult peetakse Egiptuse ei jõudnud meile varem tõendeid selle olemasolust. See puudumise tõttu saamiseks kogu aeg äri- lihtsalt kui nähtus. Ta kinnitab veelkord tasemel teadusliku arengu rahvaste need ajad. Lõpuks tööde leiti vanakreeka matemaatikud, pärineb 4. sajandil eKr. Need kirjeldavad kasutatud meetod, kus ebamäärane integraal, mille põhiolemus oli leida mahus või ala kõverjooneline kuju (kolmemõõtmeline ja kahemõõtmeline tasapind võrra). Arvutus põhineb põhimõttel jagamise originaal joonisel arvesse üliväike komponendid, eeldusel, et maht (piirkond) on juba teada neile. Aja jooksul meetod on kasvanud, Archimedes kasutada seda leida ala parabool. Sarnased arvutused samal ajal läbi harjutusi iidses Hiinas, kus nad olid täiesti sõltumatu Kreeka mehe teaduse.

areng

Järgmine läbimurre XI sajandil eKr on muutunud töö Araabia õpetlane "vagun" Abu Ali al-Basri, kes surusid piirid juba teada, olid saadud lahutamatu valem summad summade ja kraadi esimesest kuni neljanda, kohaldades selle meile teada induktsiooni meetodil.
Mõtetes täna on imetlenud muistsed egiptlased loodud hämmastav monumendid ilma spetsiaalseid tööriistu, välja arvatud, et nende endi kätes, kuid on ei ole võimu hullu teadlased ajast mitte vähem ime? Võrreldes kehtiva korra oma elu tundub peaaegu primitiivne, kuid otsus määramata integraalid tuletada kõikjal ja kasutada praktikas edasiseks arenguks.

Järgmise sammuna toimus XVI sajandil, mil Itaalia matemaatik Cavalieri tõi jagamatu meetodit, mis kiirenes Per Ferma. Need kaks isiksus pani aluse tänapäeva lahutamatu calculus, mis on hetkel teada. Nad seotakse mõistete eristamine ja integratsiooni, mis olid eelnevalt vaadelda iseseisvad üksused. Üldiselt matemaatika oli sel ajal fragmenteeritud osakesed leiud eksisteerida endid, kasutamine piiratud. Viis ühendada ja leida ühine oli ainus tõeline hetkel, tänu temale tänapäeva matemaatilise analüüsi oli võimalus kasvada ja areneda.

Mis aja jooksul muutub kõik ja lahutamatu sümbol samuti. Üldiselt oli määratud teadlased, kes omal viisil, näiteks Newton kasutatakse ruudukujulist ikoon, mis panna integrable funktsioon, või lihtsalt kokku panna. See erinevus kestis kuni XVII sajandil, kui maamärk kogu teooria matemaatiline analüüs teadlane Gotfrid Leybnits kasutusele sellise iseloomu meile tuttav. Piklikud "S" on tegelikult põhineb see kirjas ladina tähestikku, kuna tähistab summat primitiivid. Nimi lahutamatu saadud tänu Jakob Bernoulli, pärast 15 aastat.

Ametliku definitsiooni

Määramata lahutamatu sõltub määratlus primitiivne, seega kaalume seda esiteks.

Integraalifunktio - on pöördfunktsiooni tuletis, praktikas seda nimetatakse primitiivne. Muidu: primitiivne funktsioonina d - on funktsioon D, mis on tuletis v <=> V '= v. Otsi primitiivne on arvutada määramata integraali ja protsess ise nimetatakse integratsiooni.

näiteks:

Funktsioon s (y) = y 3 ja selle primitiivse S (y) = (y 4/4).

Komplekt kõigi primitiivide funktsiooni - see on määramata integraal tähistatakse seda järgmiselt: ∫v (x) dx.

Tulenevalt asjaolust, et V (x) - on vaid mõned primitiivne esialgse funktsiooni, väljend omab: ∫v (x) dx = V (x) + C, kus C - konstant. Vastavalt suvaline konstant viitab mistahes konstantne, kuna selle derivaat on null.

omadused

Omaduste valdusse ebamäärane integraal sisuliselt põhinema määratlusel ja omadused derivaadid.
Mõtle põhipunkte:

  • lahutamatu derivaati primitiivne on primitiivne ise pluss suvaline konstant C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
  • derivaat integraali funktsioonina on esialgse funktsiooni <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
  • konstantse võetakse alt integraalimärgi <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kus k - on meelevaldne;
  • lahutamatu, mis on võetud summa ühesuguselt võrdne summa integraalid <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Kaks viimast omadused võib järeldada, et määramata integraal on lineaarne. Tänu sellele on meil: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Näiteid selle kohta, millega lahendusi määramata integraalid.

Te peate leidma lahutamatu ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

  • ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Alates näiteks võime järeldada, et sa ei tea, kuidas lahendada määramata integraalid? Just leida kõik primitiivide! Aga otsing allpool käsitletavad põhimõtted.

Meetodid ja näidete

Et lahendada lahutamatu, võite kasutada järgmisi meetodeid:

  • valmis ära tabelis;
  • integreerides osade kaupa;
  • integreeritud asendades muutuja;
  • summeerida märgi all vahest.

tabelid

Kõige lihtsam ja nauditav viis. Praegu matemaatilise analüüsi võib kiidelda üsna ulatuslikud tabelid, milles on välja toodud põhilised valem määramata integraalid. Teisisõnu, seal on mallid saadud sinust ja sa saad ainult neid ära. Siin on nimekiri põhitabelis seisukohti, mida võib panna peaaegu iga Näiteks on lahendus:

  • ∫0dy = C, kus C - konstant;
  • ∫dy = y + C, kus C - konstant;
  • ∫y n dy = (y n + 1) / (n + 1) + C, kus C - konstant, ja n - number erineb ühtsuse;
  • ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kus C - konstant;
  • ∫e y dy = e y + C , kus C - konstant;
  • ∫k y dy = (k y / ln k) + C, kus C - konstant;
  • ∫cosydy = siny + C, kus C - konstant;
  • ∫sinydy = -cosy + C, kus C - konstant;
  • ∫dy / cos 2 y = tgy + C, kus C - konstant;
  • ∫dy / sin 2 y = -ctgy + C, kus C - konstant;
  • ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, kus C - konstant;
  • ∫chydy = arg + C, kus C - konstant;
  • ∫shydy = chy + C, kus C - konstant.

Vajadusel teha paar sammu viia integrand oma tabelina ja nautida võidu. Näide: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Otsuse kohaselt on selge, et näiteks laua integrand puudub kordaja 5. Lisame paralleelselt käesoleva korrutades 1/5 kuni üldmõiste ei muutu.

Integratsioon Parts

Vaatleme kaht funktsiooni - z (y) ja x (y). Nad peavad olema pidevalt diferentseeruv oma domeeni. Ühes diferentseerumise omaduste meil: d (xz) = XDZ + ZDX. Integreerimine mõlemad pooled, saame: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Ümberkirjutamine saadud võrrandi saame valemiga, mis kirjeldab meetodit integratsiooni osad: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Miks on see vajalik? Asjaolu, et mõned näited on võimalik lihtsustada, oletame, et vähendada ∫zdx ∫xdz, kui viimane on lähedal tabeli kujul. Ka see võib kasutada valemit rohkem kui ühel korral optimaalsete tulemuste saavutamiseks.

Kuidas lahendada määramata integraalid sel viisil:

  • arvutamiseks vajalike ∫ (s + 1) e 2s ds

∫ (x + 1) e 2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e 2s, dy = e 2x ds} = ((s + 1) e 2s) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((s + 1) e 2s) / 2-e 2s / 4 + C;

  • peab arvutama ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = Slns - ∫s x ds / s = Slns - ∫ds = Slns -s + C = s (LNS-1) + C.

Asendades muutuja

See põhimõte lahendada määramata integraalid ei ole vähem nõudluse kui kahe eelmise, kuigi keeruline. Meetod on järgmine: Olgu V (x) - integraal mõne funktsiooni v (x). Juhul kui iseenesest lahutamatu näites slozhnosochinenny tegemist, on tõenäoline, et saada segaduses ja minna mööda valet teed lahendusi. Selle vältimiseks praktikas muutus muutuja x z, kus üldmõiste visuaalselt lihtsustatud hoides z olenevalt x.

Matemaatiliselt tähendab see järgmiselt: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), kus x = y ( z) - vahetuseks. Ja muidugi, pöördfunktsiooni z = y -1 (x) kirjeldab täielikult suhet ja suhte muutujaid. Oluline märkus - diferentsiaali dx tingimata asendada uue erinevus dz, kuna muutus muutuja määramata lahutamatu hõlmab asendades seda kõikjal, mitte ainult integrand.

näiteks:

  • peab leidma ∫ (s + 1) / (s 2 + 2s - 5) ds

Täida asendus z = (s + 1) / (s 2 + 2s-5). Siis dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Selle tulemusena järgmist väljendit, mis on väga lihtne arvutada:

∫ (s + 1) / (s 2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s 2 + 2s-5 | + C;

  • te peate leidma lahutamatu ∫2 s e s dx

Et lahendada ümberkirjutamine järgmisel kujul:

∫2 s e s ds = ∫ ( 2e) s ds.

Me tähistame a = 2e (asendamine argument ei ole see etapp, see on ikka S), anname meie näiliselt keerulised lahutamatu põhilistele tabeli kujul:

∫ (2e) s ds = ∫a s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e s / ln (2 + LNE) + C = 2 s e s / (ln2 + 1) + C.

Summeerida diferentsiaal märk

Üldiselt see meetod määramata integraalid - kaksikvend põhimõtte muutus muutuja, kuid on erinevusi registreerimise protsessi. Mõelgem üksikasjalikumalt.

Kui ∫v (x) dx = V (x) + C ja y = z (x), siis ∫v (y) dy = V (y) + C.

Samal ajal ei tohi me unustada triviaalne lahutamatu muutusi, mille hulgas:

  • dx = d (x + a), ja kusjuures - iga konstantse;
  • dx = (1 / a) d (ax + b), kus a - konstantne uuesti, kuid pole nullid;
  • xdx = 1 / 2d (x 2 + b);
  • sinxdx = -d (cosx);
  • cosxdx = d (sinx).

Kui me arvestame üldjuhtumile kus me arvutada ebamäärane integraal, näiteid võib alla liigitada üldvalemiga w '(x) dx = dw (x).

näited:

  • peab leidma ∫ (2s + 3) 2 ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2 ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSSiga = Ln | COSSiga | + C.

Online abi

Mõnel juhul süü, mis võib muutuda või laiskus või tungiv vajadus, mida saab kasutada online viipasid, või pigem kasutada kalkulaatorit määramata integraalid. Hoolimata näilisest keerukusest ja vastuolulistele integraalid, otsustab allub nende konkreetsete algoritm, mis põhineb põhimõttel "kui te ei ... siis ...".

Muidugi, eriti keerukas näited selliste kalkulaator ei osata, kui on juhtumeid, kus otsuse peab leidma kunstlikult "sunnitud" kehtestades teatud elemendid protsessi, sest tulemused on ilmne, kuidas jõuda. Vaatamata vastuolud see avaldus, see on tõsi, nagu matemaatika, põhimõtteliselt abstraktne teadus ja selle esmane eesmärk peab vajalikuks anda piire. Tõepoolest, sujuvat run-teooriad on väga raske liikuda ja areneda, seega ei saa eeldada, et näited lahendada määramata integraalid, mis andis meile - see on kõrgus võimalusi. Aga tagasi tehniline pool asju. Vähemalt kontrollida arvutusi, mida saab kasutada teenust, mis oli kirjutatud meile. Kui on vaja automaatse arvutamise keerulised väljendid, siis nad ei pea kasutama tõsisem tarkvara. Peaks pöörama tähelepanu peamiselt keskkonna MatLab.

taotlus

Otsus määramata integraalid esmapilgul tundub täiesti eraldunud reaalsus, sest see on raske näha ilmne kasutamine lennukis. Tõepoolest, otse kasutada neid kõikjal sa ei saa, kuid nad on vajalikud vahe element protsessis tühistamise lahendusi kasutatakse praktikas. Seega integratsiooni tagasi diferentseerumise, seega aktiivselt osalevad protsessis lahendada võrrandid.
See omakorda võrrandid on otsene mõju otsuse mehaanilisi probleeme trajektoori arvutamise ja soojusjuhtivus - lühidalt, kõik, mis moodustab käesoleva ja tuleviku kujundamisel. Määramata lahutamatu, mille näited on meil pidada eespool ainult triviaalne esmapilgul alusena teostada rohkem ja rohkem uusi avastusi.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 et.delachieve.com. Theme powered by WordPress.